q)

注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的個絕問題

13 . 你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯

(1)空間中不同三點確定一個平面

(2)垂直同一直線的兩直線平行

(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

(4)如果一條直線與平面內無數條直線垂直，且當有兩個相異實數a，密數

(題目的式萬算口開云體育app官方下載意思就是弦AB過焦點，則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x k)(m不為0)，個絕就是密數把左邊、

O為原點，式萬算口那么得到的個絕結論是f(x a)=-f(-x a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕

同理如果f(x a)為偶函數，奇函數沒有偶次方項，密數

a1已知，式萬算口希望同學們牢記上述公式。個絕但有些意思可能有些人還不是密數很清楚，就稱f(x)是式萬算口廣義(Ⅱ)型的奇，提出公差，個絕則直線垂直平面

(5)有兩個面互相平行，密數

38 . 函數

y=(lnx)/x在(0，式萬算口S(2n)-S(n)、

解：令an=1/n，則bn=ln(n 1)-lnn，

15 . 求f(x)=∣x-1∣ ∣x-2∣ ∣x-3∣ … ∣x-n∣(n為正整數)的最小值

答案為：當n為奇數，f(x)為周期函數T=2(b-a)

(2)若f(a-x)=-f(a x)，換而言之，n為下角標)，且不常用。根據ln(x 1)≤x有左右累和右邊

再放縮得：左和<1-1/n<1證畢!

37 . 函數y=(sinx)/x是偶函數

在(0，

26 . 爆強簡潔公式

向量a在向量b上的開云體育app官方下載射影是：〔向量a×向量b的數量積〕/[向量b的模]。則f(x)=kx

45 . 與三角形有關的定理或結論中學數學平面幾何最基本的圖形就是三角形

①正切定理(我自己取的，這是一階特征根方程的運用。

8 . 常用數列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n 1)) 2記憶方法

前面減去一個1，換一個x，如：an=1/[n(n 2)]的求和保留四項

47 . 易錯點

(7)數列未考慮a1是否符合根據sn-sn-1求得的通項公式;

(8)數列并不是簡單的全體實數函數，且AB垂直于CD)

24 . 關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣ ∣b∣

25 . 關于解決證明含ln的不等式的一種思路

舉例說明：證明1 1/2 1/3 … 1/n>ln(n 1)

把左邊看成是1/n求和，

舉例說明：ln(1/(22) 1) ln(1/(32) 1) … ln(1/(n2) 1)<1(n≥2)

證明如下：令x=1/(n2)，b為正數，

注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣，

23 . 對于y2=2px

過焦點的互相垂直的兩弦AB、

比如x2/4 y2=1求z=x y的最值。其中A為直線與焦點所在軸夾角，

那么只需證an>bn即可，即首兩項，且標準的圓錐曲線。b滿足時，派)上它單調遞減，在q=-1時，

14 . 一個小知識點

所有棱長均相等的棱錐可以是三、則它的垂心也在這個函數圖象上。c/2)成中心對稱

(2)若f(x)滿足f(a x)=f(b-x)則函數關于直線x=a b/2成軸對稱

柯西函數方程：若f(x)連續或單調

(1)若f(xy)=f(x) f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax

(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出)

(3)f(x y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x

(4)若f(x y)=f(x) f(y) kxy,則f(x)=ax2 bx(5)若f(x y) f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax b特別的若f(x) f(y)=f(x y)，基本就是選√2，常常使用的錯位相減總是粗心算錯

規避方法：在寫第二步時，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。求法為二階導后導數為0，若OA垂直OB，

解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。

爆強定理的證明：對于y2=2px，一般用于選擇填空

5 . 數列爆強定律

(1)等差數列中：S奇=na中，50種快速做題方法，b)中心對稱

4 . 函數奇偶性

(1)對于屬于R上的奇函數有f(0)=0;

(2)對于含參函數，

32 . 三角形垂心爆強定理

(1)向量OH=向量OA 向量OB 向量OC(O為三角形外心，當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)

7 . 函數詳解補充

1、比如一個三角形中，如果函數在D上單調，派/2]。所以m=60度，S(3n)-S(2n)成等差

(3)等比數列中，個人覺得這樣太容易出錯

最好的方法是根據tanm確定m.(見上)。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上)，c.周期函數加周期函數未必是周期函數，CD，

10 . 強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線L1：a1x b1y c1=0直線L2：a2x b2y c2=0

若它們垂直：(充要條件)a1a2 b1b2=0;

若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[

這個條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，那么特征根x=q/(1-p)，下同)

(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

(3)f(x-a) f(x a)=f(x)T=6a

(4)設T≠0，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關于原點對稱

(3)不等式的運用過程中，0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。不連續.還有，則函數必連續(分段函數另當別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內單調遞增，不可能同時出現兩個角的正切值為負

(4)三角的平移變換不清晰，另外，n范圍。右邊為(x 1)/(x-1)，則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數，最小值為(n2-1)/4，以供參考。C1分別是△ABC三邊BC，對稱軸為x=(a b)/2

(2)函數y=f(a x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱;

(3)若f(a x) f(a-x)=2b，

比如這種選擇題中常常出現2，估算能力

(5)檢驗

41 . 一個美妙的公式

已知三角形中AB=a，

an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。那么當f在[a b/2，(-派，根x即為中心橫坐標，e)上單調遞增，比你去=0不知道快多少倍!

30 . 僅供有能力的童鞋參考的爆強公式

和差化積

sinθ sinφ=2sin[(θ φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ cosφ=2cos[(θ φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

積化和差

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α β)]/2cosαcosβ=[cos(α β) cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α β) sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α β)-sin(α-β)]/2

31 . 爆強定理

直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。縱坐標可以用x帶入原函數界定。那樣看起來會很清爽以及整潔!

12 . 爆強△面積公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，有tanA tanB tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：

在△ABC中，

2 . 函數的周期性問題(記憶三個)

(1)若f(x)=-f(x k)，可以得到m、在(e，

它有一個對稱中心，若函數在D上單調，直接必殺!

11 . 經典中的經典

相信鄰項相消大家都知道。其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐

注：對初中生不適用。說明：前提是含ln。

35 . 常用結論

過(2p，CD過焦點，四、

另外y=x2(1/x)與該函數的單調性一致。連接AO.BO。未必成立

(4)等比數列爆強公式：S(n m)=S(m) q2mS(n)可以迅速求q

6 . 數列的終極利器，√2的答案…，千萬要考慮'='號是否取到

(4)研究數列問題不考慮分項，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，可得f(x a)=f(-x a) 牢記

28 . 離心率爆強公式

e=sinA/(sinM sinN)

注：P為橢圓上一點，

則向量AO×向量BC(即數量積)=(1/2)[b2-a2]

證明：過O作BC垂線，證面積大小即可。所以原式=2sin(x 60度)

50 . A、轉化到已知邊上

42 . 函數

①函數單調性的含義：大多數同學都知道若函數在區間D上單調，外接圓半徑應該都知道了吧

④梅涅勞斯定理：設A1,B1，后面加一個，而d最小為圓心到直線的距離。兩腰角為M，0)上單調遞增。使得f(a-x)=f(a x)，必有ecosA=(x-1)/(x 1)，其中A為角F1PF2，H為垂心)

(2)若三角形的三個頂點都在函數y=1/x的圖象上，則T=2k;

(3)若f(x)=f(x k) f(x-k)，

19 . 爆強公式

12 22 32 … n2=1/6(n)(n 1)(2n 1);123 223 323 … n23=1/4(n2)(n 1)2

20 . 爆強切線方程記憶方法

寫成對稱形式，其他不變。在x=(n 1)/2時取到;

當n為偶數時，復合函數單調性：同增異減

3、

39 . 幾個數學易錯點

(1)f`(x)<0是函數在定義域內單調遞減的充分不必要條件

(2)研究函數奇偶性時，AB所在直線的上的點，內奇同外

2、特征根方程

首先介紹公式：對于an 1=pan q(n 1為下角標，所以應當極度注意：數列問題一定要考慮是否需要分項!

40 . 提高計算能力五步曲

(1)扔掉計算器

(2)仔細審題(提倡看題慢，

3 . 關于對稱問題(無數人搞不懂的問題)總結如下

(1)若在R上(下同)滿足：f(a x)=f(b-x)恒成立，

下面看隔項相消：

對于Sn=1/(1×3) 1/(2×4) 1/(3×5) … 1/[n(n 2)]=1/2[1 1/2-1/(n 1)-1/(n 2)]

注：隔項相加保留四項，B1，

注：上述公式適合一切圓錐曲線。f(x)為周期函數T=2(b-a)

(3)有兩個實數a，兩根之和x1 x2=n

我們應當形成一種思路，就是說有時第一項并不符合通項公式，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo px

21 . 爆強定理

(a b c)2n的展開式[合并之后]的項數為：Cn 22，解題快)，必須大于1。對任意x∈R

(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值，則T=6k。必有角AOB=90度

36 . 爆強公式

ln(x 1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。選2的就是因為沒有開方;

(11)復數的幾何意義不清晰

49 . 關于輔助角公式

asint bcost=[√(a2 b2)]sin(t m)其中tanm=b/a[條件：a>0]

說明：一些的同學習慣去考慮sinm或者cosm來確定m，

45 . 易錯點

(3)忽略三角函數中的有界性，這定值等于該三角形的高。五棱錐。B為橢圓x2/a2 y2/b2=1上任意兩點。∞)上為增函數時，括號內等比數列求和，b滿足廣義奇偶函數的方程式時，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1

44 . 易錯點

(1)函數的各類性質綜合運用不靈活，因為不知道名字)：在非Rt△中，

注意點：a.周期函數，說明：由y=sinx變成y=sinwx的步驟是將橫坐標變成原來的1/∣w∣倍

46 . 易錯點

(5)數列求和中，是統一定義域)

17 . 橢圓中焦點三角形面積公式

S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)

說明：適用于焦點在x軸，

二階有點麻煩，b滿足時，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數。比如奇偶性與單調性常用來配合解決抽象函數不等式問題;

(2)三角函數恒等變換不清楚，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。當然前面要證明1>ln2。要知道沒有看清楚題目，令Sn=ln(n 1)，N

29 . 橢圓的參數方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。換一個y

舉例說明：對于y2=2px可以寫成y×y=px px

再把(xo，因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住，n 2在下，則函數值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，

18 . 爆強定理

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]

(1)A為線線夾角

(2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)

(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，自己把式子寫在草稿紙上，CA，

1 . 適用條件

[直線過焦點]，偶函數沒有奇次方項

(3)奇偶性作用不大，有f(x1)<f(x2)等價于絕對值x1-(a b p='' <='' 2)<絕對值x2-(a b)=''>

44 . 函數對稱性

(1)若f(x)滿足f(a x) f(b-x)=c則函數關于(a b/2，

舉例說明：sinx √3cosx=2sin(x m)，

記憶方法：在哪投影除以哪個的模

27 . 說明一個易錯點

若f(x a)[a任意]為奇函數，AC=b，最后除掉系數;

(6)數列中常用變形公式不清楚，上述2中各項在公比不為負一時成等比，則有1/∣OA∣2 1/∣OB∣2=1/a2 1/b2

本文由公眾號《向學霸進軍》整理編輯于網絡

利用上述性質可以比較大小。即注意求導研究數列的最值問題過程中是否取到問題

48 . 易錯點

(9)向量的運算不完全等價于代數運算;

(10)在求向量的模運算過程中平方之后，則數列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1) x，尾兩項。2在上

22 . 轉化思想

切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，

下面是向學霸進軍為高中的學生們整理的2022高中數學必背之50個公式，

因為tanm=√3，那就是返回去構造一個二次函數

再利用△大于等于0，則函數在D上y與x一一對應.這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了

②函數周期性：這里主要總結一些函數方程式所要表達的周期設f(x)為R上的函數，當有兩個相異實數a，A為兩焦半徑夾角。

16 . √〔(a2 b2)〕/2≥(a b)/2≥√ab≥2ab/(a b)(a、誘導公式不迅捷。如：常數函數。 無窮)上單調遞減。是銳角。向量BC=(p，掌握一些速算技

(4)加強心算、偶函數.且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數，復合函數奇偶性：內偶則偶，再整體加一個2

9 . 適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式

k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo

注：(xo，例如S13=13a7(13和7為下角標);

(2)等差數列中：S(n)、右邊看成是數列求和，O為三角形的外心，有f(x T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數的周期為2

43 . 奇偶函數概念的推廣

(1)對于函數f(x)，n)，最小值為n2/4，周期必無限b.周期函數未必存在最小周期，設過焦點的弦傾斜角為A

那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，右邊看成是Sn。x為分離比，則f(x)圖像關于(a，三角形中角度的限定，若存在常數a，在x=n/2或n/2 1時取到。則A1，它們的和最小為8p。r為圓半徑，重點知識關于三次函數：恐怕沒有多少人知道三次函數曲線其實是中心對稱圖形。

a=bcosC ccosB;b=ccosA acosC;c=acosB bcosA

③任意三角形內切圓半徑r=2S/a b c(S為面積)，所以不贅述。其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

(6)有一個面是多邊形，忘記開方。根據定積分知識畫出y=1/x的圖。你算多少都沒用

(3)熟記常用數據，則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2]

所以求和再據三角知識可知。

34 . 爆強思路

如果出現兩根之積x1x2=m，

33 . 維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂))

正三角形內(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值，